Hallo Heike,
die zuständigen Ärztekammern unterhalten Gutachter- und Schlichtungsstellen, an die Du Dich kostenfrei wenden kannst.

Solltest Du den Rechtsweg beschreiten wollen, so ist dafür keinesfalls das "Sozialgericht" zuständig sondern je nach Streiwert das Amts- oder Landgericht.
Gruß
Bluebird